まずは、お父様に、役員がすべて外されているかどうか確認することが必要です。

商工会議所は、登記を確認して郵便物を発送しているわけではありませんので、登記を外して、商工会議所に報告していないのかもしれません。商工会議所に役員として登録されているからといって、登記上も必ずしも役員であるとは限りません（何年も前に亡くなった方についても送られてきますので…）

まずは、お父様の経営されている会社すべての登記簿を取り寄せて、自分が役員登記をされているかどうかご自分の目で確認されることをおすすめします（既にされているようであれば、申し訳ありません）

そして、お父様とよく話し合って、なるべく円満に解決する努力をされることをおすすめします。このようなつまらないことで、関係にひびが入ってはどうしようもありませんので…
そして、最終的に役員から外れたかどうかは、必ずご自身の目でご確認ください。

ご相談者さまが役員から外れるためには、まずはご相談者さまが役員として登記されている会社を調べなければなりません。

それにはお父様に直接聞くのが一番早いですが、ご事情から察するとお父様が全てをお話してくれるとは限らないようですし、お父様は複数の会社を経営されているとのことですからその全てに役員として登記されている可能性があると考えて、守屋先生が仰る方法でも独自に調べた方が良いと思います。

役員として登記されている会社が判明したら、それらの会社宛てに辞任届を提出することによって役員を辞任することができます。
辞任に会社等の承諾は不要です。

ところでそもそも役員選任時に取締役への就任を承諾をされていないようなので「辞任」は不適当とも考えられますが、事後的に承諾したと評価できる事情もありますし、また、就任承諾をしていない者を勝手に役員として登記するなど虚偽の登記をした者は処罰されてしまうので、実のお父様相手にそこまでお望みでなければ「辞任」が無難だと思います。

さて、ご相談者さまは以前も辞任の意思を伝えたにも関わらず、その旨の登記がされていないということですので、今回も口頭で辞任の意思を伝えただけでは再び何もされないかもしれません。

しかし会社が株主や第三者に損害を与えた場合、名義だけの取締役であっても責任追及されることがありますので、たとえお父様が登記を申請してくれなくても、”既に辞任した”証拠を残しておくべきです。

それには「内容証明郵便」で辞任届を提出するのが良いでしょう。

内容証明郵便に記載する辞任の日付を数年前の就職時とするか現在とするか等の細かい点についてはお父様とお話合いになった方が宜しいと思います。

なお、お父様が登記を申請しない場合に、強制的に登記をするには訴訟が必要です。

健康保険の請求というのが恥ずかしい話ですが、よくわかりません。
貴方に自分の知らない収入があったということでよろしいでしょうか。
もし収入があるのなら、住民票がある市役所に連絡をして過去数年分さかのぼれる分だけ住民税としての収入の内訳を確認したらいかがでしょう。どこのなんていう会社から給与がいくらでていたかわかります。本人が聞くわけだから（履歴がのこっていれば）役所だっておしえてくれると思います。そうすればどこの会社から給与が出ているのかわかります。住所と会社名がわかったら法務局で謄本をとってください。もしかしたら自分の名前が取締役として記載されているかもしれません。

正しい手続きとして、役員を外すためには会社の代表印が必要なのでお父さんに確認する必要があります。違うやり方で役員をはずす方法があるかもしれませんが、私は税理士なのでやり方はわかりません。そのあたりは司法書士が専門です。

商工会議所はこちらから連絡しない限り連絡先の変更などしないでしょうから、事情を説明して登録を削除するためにはどうしたらよいか聞いてください。