社名として使うことは可能です。○○商店や、××興業（いずれも苗字）などで、商号が重なっている場合は、数多くあります。そのような場合であっても、住所があまりにも近くである等の事情がない限り、商号として使用することは可能ですし、違法性もありません。

しかし、その社名が商標として登録されている場合は別です。商標権はその商標について、独占的な使用権を認められていますので、相手方の登録商標と相談者様の商号が重なったこと等により、私用の差し止め等の請求が行われる可能性があります。

会社法では「何人も、不正の目的をもって、他の会社であると誤認されるおそれのある名称又は商号を使用してはならない。」（第８条）と定められていますが、ご相談者様の場合、そのような要件に該当することはないでしょうし、不正競争防止法上からも、所在地と検索した会社の所在地は遠く離れており、業種もまったく別であるため、よほどその社名が著名でない限り使用することに問題はありません。

また、先に存在する会社が、その社名を商標登録していた場合ですが、商標を登録するにあたっては特許庁が定める「指定商品又は指定役務」を指定することになり、それと同一または類似のものには、同一または類似の名称を使用することはできませんが、それ以外のものは同一の名称を使用することは問題ありません（何が類似に該当するかは、特許庁が類似群コードというもので指定しています）。
先に存在する会社は保育園などを経営する会社ということで、ご相談者様が行おうとする食品関係に類似する分類群に登録していなければまったく問題ありません。

逆に、ご相談者様の考えていらっしゃる名称が商標登録の要件を備えている場合には、その登録を行うこともお勧めします。